数学学習の記録 331 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問69, 70

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問69, 70を解いてみる。

問69

(1)

$y=10\tan\theta$

より、この両辺をtで微分すると、

$\frac{dy}{dt}=10\cdot\frac{d}{d\theta}(\tan\theta)\cdot\frac{d\theta}{dt}$

$\frac{dy}{dt}=\frac{10}{\cos^{2}\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}$

θは毎秒1/20ラジアンの割合で増加するので

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{20}$

よって

$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2\cos^{2}\theta}$

ゆえに、求める

$\theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3}$

の各瞬間における, yの時間tに対する変化率はそれぞれ毎秒

$\frac{dy}{dt}=\frac{2}{3},\ 1,\ 2\$

(2)

(1)とyが毎秒1の割合で増加するという問題の仮定より、

$1=\frac{10}{\cos^{2}\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}$

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{\cos^{2}\theta}{10}$

よって、求める

$\theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3}$

の各瞬間における, θの時間tに対する変化率はそれぞれ毎秒

$\frac{d\theta}{dt}=\frac{3}{40},\ \frac{1}{20},\ \frac{1}{40}$

問70

直円柱の体積をV(定数), 高さをh, 高さが伸びる速度をv(定数), 時刻をt, 底面の半径をrとおくと、

$V=r^{2}\pi h$

$h=Vr^{-2}\pi^{-1}$

この両辺をtで微分すると、

$\frac{dh}{dt}=-2V\pi^{-1}r^{-3}\cdot\frac{dr}{dt}$

$v=-2V\pi^{-1}r^{-3}\cdot\frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt}=-\frac{v\pi}{2V}r^{3}$

よって、任意の時刻において, 底面の半径の縮む速度は, その時刻における半径の3乗に比例する。

(証明終)

Kamimura's blog