数学学習の記録 330 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問67, 68

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問67, 68を解いてみる。

問67

例題の式、

$\frac{dy}{dt}=\frac{a^{2}}{(a-x)^{2}}\cdot\frac{dx}{dt}$

について、

$\frac{dy}{dt}=v,\ x=\frac{a}{2}$

とおくと、

$v=4\cdot\frac{dx}{dt}$

$\frac{dx}{dt}=\frac{v}{4}$

となる。おって求めるPがCDの中点を通過する瞬間におけるPの速度は

$\frac{v}{4}\ cm/s$

問68

t秒における水で満たされている部分の円錐形の底面の半径をr, 高さをh, 体積をVとおくと

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

となる。また、

$r=\frac{h}{2}$

より

$V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{1}{4}h^{3}=\frac{\pi}{12}h^{3}$

この両辺をtで微分すると、

$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}h^{2}\cdot\frac{dh}{dt}$

水の深さは50cm, 水は200 $cm^{3}/s$ の割合で注ぎ入れているので、

$200=\frac{\pi}{4}\cdot50^{2}\cdot\frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt}=\frac{8}{25\pi}$

よって求める水の深さが50cmに達した瞬間における水面の上昇速度は

$\frac{8}{25\pi}\ cm/s$

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