数学学習の記録 363 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、分数関数の積分の問18 | Kamimura's blog

2010年11月21日日曜日

数学学習の記録 363 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、分数関数の積分の問18

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、分数関数の積分の問18を解いてみる。

分数式の商、余りはiPadのneu.Notesを利用して手書きで求めました。

問18

以下不定積分の積分定数Cを省略。

(1)

$\int(2x+2+\frac{2}{x-1})dx$

$=x^{2}+2x+2\log|x-1|$

(2)

$\int(x^{2}-2x+3-\frac{4}{x+2})dx$

$=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+3x-4\log|x+2|$

(3)

$\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$

$\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(A+B)x+(-2A-B)}{(x-1)(x-2)}$

よって

A+B=1

-2A-B=-3

B=1-A

-2A-1+A=-3

A=2, B=-1

ゆえに、

$\int(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2})dx$

$=2\log|x-1|-\log|x-2|$

(4)

$\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}=\frac{(A+B)x-2A+2B}{(x^{2}-4}$

よって

A+B=0

-2A+2B=1

B=-A, -2A-2A=1

A=-1/4, B=1/4

ゆえに

$\int(-\frac{1}{4(x+2)}+\frac{1}{4(x-2)})dx$

$=-\frac{\log|x+2|}{4}+\frac{\log|x-2|}{4}$

(5)

$\int(x-1+\frac{3x-2}{(x+2)(x-1))})dx$

$\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}=\frac{(A+B)x-A+2B}{(x+2)(x-1)}$

A+B=3

-A+2B=-2

B=3-A

-A+6-2A=-2

A=8/3, B=1/3

よって

$\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{8}{3}\log|x+2|+\frac{1}{3}\log|x-1|$

(6)

$\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{(x-1)^{2}}=\frac{(a+b)x^{2}+(-2a+c)x+a}{x(x-1)^{2}}$

a+b=0

-2a+c=2

a=1, b=-1, c=4

よって

$\int(\frac{1}{x}+\frac{-x+4}{(x-1)^{2}})dx$

$=\log|x|-\frac{1}{2}\log(x-1)^{2}+\int\frac{3}{(x-1)^{2}}dx$

$=\log|x|-\log|x-1|-\frac{3}{x-1}$

(7)

dt/dx=1, dx=dt

$\int\frac{1}{t^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}dt=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\arctan \frac{t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$

(8)

$\int\frac{t-\frac{1}{2}}{t^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}dt$

$=\frac{1}{2}\log|x^{2}+x+1|-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$

(9)

$\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^{2}}+\frac{c}{(x+1)^{3}}$

$=\frac{ax^{2}+(2a+b)x+a+b+c}{(x+1)^{3}}$

a=0, b=1, c=-1

よって

$\int(\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{3}})dx$

$=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^{2}}$

(10)

$\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^{2}+1}+\frac{dx+e}{(x^{2}+1)^{2}}$

$=\frac{a(x^{4}+2x^{2}+1)+(bx+c)x(x^{2}+1)+dx^{2}+ex}{x(x^{2}+1)^{2}}$

a+b=0

c=0

2a+b+d=0

c+e=0

a=1, b=-1, d=-1, c=0, e=0

よって

$\int(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}})dx$

$=\log|x|-\frac{1}{2}\log(x^{2}+1)+\frac{1}{2(x^{2}+1)}$

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