数学学習の記録 323 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、指数関数・対数関数の微分の問53

2010年10月12日火曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、指数関数・対数関数の微分の問53を解いてみる。

問53

$x=\frac{1}{n}$

とおくと、

$n\rightarrow\infty\Rightarrow\frac{1}{n}\rightarrow0$

よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\lim_{x\rightarrow0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}$

ゆえに自然対数の底の定義より

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$

(証明終)