数学学習の記録 471 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.1(数列), 問題2.1, 4

仮定より、任意の実数ε(>0)に対してある自然数N_0, N_1が存在して任意の自然数nに対して

n>N_0 ならば |a_n - α|<ε

n>N_1 ならば |c_n - α|<ε

が成り立つ。ここで、

N=max{N_0,N1}

とおけば、

n>N ならば |a_n - α|<ε , |c_n - α|<ε

が成り立つ。また、

$a_n\leq b_n\leq c_n$

より、

$a_n-\alpha\leq b_n-\alpha\leq c_n-\alpha$

よって、n>Nのとき、

ここから場合分け。

$b_n-\alpha\leq0$

の場合、

$|b_n-\alpha|\leq|a_n-\alpha|<\epsilon$

すなわち、

$|b_n-\alpha|<\epsilon$

となる。

$b_n-\alpha\geq0$

の場合、

$|b_n-\alpha|\leq c_n-\alpha|<\epsilon$

すなわち、

$|b_n-\alpha|<\epsilon$

となる。よって問題の仮定のもとでは任意の実数ε(>0)に対してある自然数Nが存在して任意の自然数nに対して

n>N ならば |b_n - α|< ε

が成り立つ。ゆえに、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{b_{n}}=\alpha$

である。

(証明終)

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