数学学習の記録 380 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問12

2010年12月8日水曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問12を解いてみる。

問12

θ=0のときx=a,

θ=πのときx=-a

またy>=0の場合を考えると、求める楕円の面積Sは

$S=2\int_{-a}^{a}ydx$

$=2\int_{\pi}^{0}b\sin\theta\cdot(-a\sin\theta)d\theta$

$=2ab\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta d\theta$

$=2ab\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos2\theta}{2}d\theta$

$=ab[\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta]_{0}^{\pi}$

$=ab\pi$