数学学習の記録 322 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、指数関数・対数関数の微分の問50, 51, 52

2010年10月11日月曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、指数関数・対数関数の微分の問50, 51, 52を解いてみる。

問50

問題の曲線上の点

$(a,e^{a})$

における接線の方程式は

$y-e^{a}=e^{a}(x-a)$

この直線が原点(0,0)を通ればよいので

$-e^{a}=-ae^{a}$

$\log e^{a}=\log ae^{a}$

$a=\log a+a$

よって、求める接線の方程式は

y=ex

問51

問題の曲線上の点

$(a,\log a)$

における接線の方程式は

$y-\log a=\frac{1}{a}(x-a)$

この直線が原点(0,0)を通ればよいので

$-\log a=\frac{1}{a}(-a)$

a=e

よって求める接線の方程式は

$y=\frac{x}{e}$

問52

$\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^{0+h}-a^{0}}{h}$

よって求める極限は $a^{x}$ の0における微分係数なので、

$a^{0}\log\ a=\log\ a$