数学学習の記録 406 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 逆行列の問21, 22, 23

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 逆行列の問21, 22, 23を解いてみる。

問21

行列Aを

a	b
c	d

問題の仮定より、この行列は逆行列をもつので、

逆行列は

d	-b
-c	a

そしてこの逆行列の転置行列は

d	-c
-b	a

Aの転置行列は

a	c
b	d

より、Aの転置行列も逆行列をもち、それは

d	-c
-b	a

となる。よって

である。

(証明終)

問22

(1)

行列A

を

a	b
b	a

とおく。

より、

よってAは逆行列をもち、その逆行列は

1/(a-b)×

a	-b
-b	a

となる。ここで、

1/(a-b) × (a+(-b))=1

また、

よって、

ゆえに、

となる。

(証明終)

(2)

x	y
y	x

と仮定すると、

ax+by	bx+ay
ay+bx	by+ax

ax+by+bx+ay=(a+b)(x+y)=1

(ax+by)-(bx+ay)

=(a-b)(x-y)

よって

ゆえに、

以上から帰納法により

ならば、任意の正の整数nに対して

(証明終)

問23

まず、Aが逆行列が存在するためには、

そして、その逆行列は

1/(ad-bc)×

d	-b
-c	a

となるので、

ad-bc=±1

(証明終)