真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか？

@kenokabe

風呂に入ってて数学のことを妄想していて、ちょっと頭いいこと思いついたので、忘れないうちにTWしてメモしておく。タイトルは、「真円周率」とオイラーの等式が何故美しくないのか？

@kenokabe

まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。

@kenokabe

まず、円の数学的な美しさであるが、それは、コンパスを想像してみよう。コンパスの足の尺みたいな一定の長さを、ある一点を中心としてぐるっと一回転すれば、円になる。ある点からの距離が一定（半径）の図形が円。

@kenokabe

数学的にいうと、この半径が基準になるのは自明。直径ではない。でも円周率π（パイ）って、「円周わる直径の比率」なんだよね。ここ完全に間違ってる。数学的には、円周率とは「円周わる半径の比率」にすべきだった。　　

@kenokabe

逆に言うと、「円周　=　直径　x　円周率3.14...」に今なってしまってるけど、ほんとうは、「円周　＝　半径　ｘ　円周率6.28...」として欲しかったの。

@kenokabe

円周率が直径ベースになったのは、おそらく、それが歴史的に工学的にそっちのほうが便利だったから。直径はノギスですぐ測れるからね。半径、、なんていうと、その計測しやすい直径をいちいち2で割らなくちゃいけないから。

@kenokabe

そこで半径ベースの「真円周率」を設定することにする。それを､【φ（ファイ）】としよう。　φ = 2π　だ。　円周を求める公式は、半径をrとすると、円周=2πr　でなく、　円周=φr　となる。　これは､φをそう定義したので自明。　

@kenokabe

面積は、　πr^2　だが、　1/2φr^2　となる。　

@kenokabe

とにかく、数学でも物理でも、やたら２π、２πってでてくるわけ。　「その２ってなんだよｗ」とずーっと思っているし、それは円周率の初期設定が半径でなく直径にしてしまったので、そこで２倍する辻褄合わせしてるんだね。２がいちいち表記されるせいで、とても式の見通しがわるいし、美しくない。

@kenokabe

ラジアン＝弧度法、という表記法がある。　円周の長さが角度とばっちり呼応してるんで、そっち使おうやという数学的に洗練された表記法。単位円＝半径１の円周の長さは２πなので、３６０度＝２πラジアンと表記される。もしさ円周率が直径ベースでなく半径ならばただのπだ。今はそれをφと定義した。

@kenokabe

オイラーの等式 - Wikipedia - http://goo.gl/YhGR e^iπ+1=0　これ、もっとも美しい数学の等式であると、いわれている、が、僕はそうは思わない。理由は、πだからだ。φならば、それよりも美しくなる。ここから結構深淵な議論に移行する。

@kenokabe

オイラーの公式 - Wikipedia - http://goo.gl/Pjxb e^iθ　＝　cosθ + isinθ　ってのは、指数関数と三角関数が複素数の世界で等価ですよ、っていう意味だけど、　これはガウス平面上の原点中心、半径１の単位円を表している。角度θはなんでもあり。

@kenokabe

オイラーの等式とは、その単位円上の点が、ぐるっと180度回ったとき、ラジアンでいうとπラジアンまわったときに、-1になるので、　e^πi　=　-1　　両辺に１足せば、　e^πi+1=0　です!　っていってるわけだ。　でもね、φ=2π　ならば、どうなるか？　e^φi=1　となる。

@kenokabe

オイラーの等式は０もあるから美しんだよ！という異論が余裕で予想されるが、まだ話は終わってない。ここからだ。　僕は両辺に1を足したりするかわりに、こう変形したい⇒　e^(0+iφ)=1　　　ほら、０があるじゃない。　　0 1 i φ　e 全部ある。　

@kenokabe

e^(0+iφ)=1　　そしてこの等式には、オイラーの等式なんかにはない、重大な意味がある。

@kenokabe

e^(0+iφ)=1　　というのは、要するに、　e^(複素数)=1　という形になっているの。これが重要。　複素数平面（ガウス平面）上の任意の点＝数は、e^(複素数)で表現できる。　

@kenokabe

ガウス平面上の数を大きさｒ、角度θの極座標を使うと、　re^iθ　となるけど、　これ　r= e^log r なので、　re^iθ　= e^(logr +iθ)　って、eの指数関数の変数としてまとめることができる。複素数の変数。

@kenokabe

e^(0+iφ)=1　っていうのは、つまり、その形になってるわけ。　eの指数関数の変数が　0+iφ　という複素数ですよ、そのときの値は１ですね、っていう等式。

@kenokabe

e^(0+iφ)=1　という等式がある。　　１ｘ１＝１　というので、検証してみよう。　e^(0+iφ)　x　e^(0+iφ)　=　e^(0+0+ iφ+iφ)　= e^(0+2iφ)　　でもね、φてラジアンで360度の一回転のことなので、2φの2回転でも同じ角度になるの。　　

いちかわ けんと @kentosho

円の面積がπr^2/2は嫌だ．RT @kenokabe: まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。

@kenokabe

つまり、　１ｘ１＝　e^(0+iφ)　x　e^(0+iφ)　= e^(0+2iφ)　= e^(0+iφ)　=1　となる。　同じように、　e^(0+3iφ)　でも同じ。　＝　e^(0+iφ)　となる。ちなみに　e^(0+0iφ)=e^0=1 φは不変の単位であるのがよくわかる。

@kenokabe

これπだったら、ラジアンで半周っていう中途半端な数なので、符号がプラスマイナス、安定しない。不変ではない。φだと普遍で、角度の世界の１みたいな働きを示す。　

@kenokabe

オイラーの等式 - Wikipedia - http://goo.gl/YhGR e^iπ+1=0　の「＋１」なんて、数学的になんの意味もない。後でとってつけた感が丸出しだし、単項式でないのが気持ち悪い。　しかし、円周率πでなく真円周率であるφを採用すると、e^(0+iφ)=1

いちかわ けんと @kentosho

0は? RT @kenokabe: e^(0+iφ)=1　　というのは、要するに、　e^(複素数)=1　という形になっているの。これが重要。　複素数平面（ガウス平面）上の任意の点＝数は、e^(複素数)で表現できる。　

@kenokabe

e^(0+iφ)=1　というのは、e^(複素数)という数の表記法そのものであり、その複素数＝　0+iφ　←　実部によるスケールはlog0=1　虚部による角度　0i (ラジアン0とφ　は一周するので同じ) 　はもっとも基本的な定数になっている。