「５×３≠３×５」問題について思ったこと
このところ「５×３≠３×５問題」がマイ･ブームでした。
これ、ネットで「掛け算の順序」「かけ算の順序」を検索すると今回だけでなく、たびたび議論になっているのですね。皿にのったリンゴやミカンだったり袋入りピーマンだったり、具体物は違うのだけれど、同じ話、同じ議論が何度も繰り返されている。これはかなり根の深い問題だなぁと改めて感じました。
今回話題になっていたのは、
-------------
「さらが ５まい あります。
１さらに りんごが ３こずつ のって います。
りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。」
しき（５×３＝15）←不正解 こたえ（15こ）←正解
家でその話をしていると、連れ合いも私も、「５×３」の立式がバツになるのは納得できない、という意見。ただし、その根拠はだいぶ違いました。
連れ合いは、ごく単純化すると、
・【「一つ分」×「いくつ」＝「全部」】という言葉の式でも「一つ分」と「いくつ」もまた交換可能、これは掛け算の数式で交換可能、というだけでなく、「３の5倍」と「5倍した３」というように日本語の中でも交換可能なのだから、ここを固定しなければならない、というのはおかしい。
という意見。
私のは、
・問題文を視覚イメージ化したときに、すでに抽象化が始まっており、「掛け算の概念」の把握が始まっている。一応【「一つ分」×「いくつ」＝「全部」】という言葉の式をそのままの語順でなぞったとしても、リンゴの３も皿の５のどちらも「一つ分」にも「いくつ」にもなりうるので、耳で聞いた問題、文字で読んだ問題にでてくる語順に引きずられてそのまま視覚イメージを作ったとしても、「３×５」でなくて「５×３」という式を立てるのは可能。
という意見です。
連れ合いの意見は各地でいろいろな方が論陣を張っていらっしゃるので、ここでは私が何をどう考えたのかを図にしてみました。*1
まずは、問題文が通常教科書などで説明されるであろう図は、お皿がテーブルの上にランダムにならんでいたり、一直線にならんでいたり、その横並びが多少前後していたりすると思います。足し算、引き算の単元ですでにおはじきなどを使って、数直線のようにまっすぐならべて数を数えることは経験してますから、一直線上に描きました。
ところが、これって横長で目で把握するのが大変なんですよね。お皿の数の５はまだパッとみて把握可能なのですが、リンゴの数でみると15あるわけですから、見にくいんです。*2だから･･･お皿を縦にならべてしまいます。これでずいぶんすっきりします。
この間、いろいろと考えてきましたが、実はこの操作を行った時点で、足し算の繰り返しから掛け算にジャンプし始めているのじゃないかと思い至りました。視覚イメージを使って、数の把握の方法が、直線という一次元の整理から面という二次元の整理に飛んでいるんです。そういえば掛け算の答えは「積」というのでしたね。線の長さと線の長さを掛け算してでてきた答えが「面積」という新しい単位を作り出しているというのがまさに「掛け算」の意味で、それは累加で計算できるものであっても思考方法の次元が変わるという意味では同じことなのかな、と。
もしかして、http://d.hatena.ne.jp/logic_master/20101118/1290089284ってこういうことじゃないでしょうか。掛け算の導入時に、実際に答えを出す、あるいは検算をするときには足し算の繰り返しを使うこともあるわけだし、この問題などは累加でも当然答えは出るのです。そして重要なのは交換法則も同時にでてくること。
もちろん、お皿を縦に並べたからと言って、掛け算の概念がわかっている、ということは必ずしも言えませんし*3、わかりかけていても説明できる子とできない子は当然います。でも、整理の方法が変わる、ということでなにかもやもやと分りかけてきている状態にはあるのじゃないかと考えるわけです。
口の達者な子だったら、いろいろと説明できます。
これは視覚イメージにプラスして動作をてがかりにしているわけですよね。
「ひっかけ問題」として作られた語順にはみごとに引っかかっているのですが、「リンゴを配る」という時間軸を取り入れて説明しています。図の見かけはお皿が15枚ありますが、これはアニメーションにしてしまえば5枚のお皿ですみますからね。そして、「線から面へ」の理解が十分でなくても、例えば、5人家族でいつもお皿が５枚、のせるものの数が時によって変わる、という経験を持っているとごく自然にでてくる発想だと思いますよ。ソースは私。子どものころは５人家族でした（笑）。
これは、動作を手がかりにしたものよりも抽象度が高いような気がします。抽象化されたお皿とリンゴだから可能な説明で、図上での位置を手がかりにしているわけです。
でもって、もっとも抽象度が高い説明は
式を立てる段階ですでにお皿の影も形もなくなってしまう。
これは問題文を理解していない、と言われてしまいそうですが、求める答えはリンゴの総数でお皿について言及せよという文言は無いのですし、手がかりとして与えられたお皿の数と皿の上のリンゴの数はちゃんと使っています。何を求めるのか、そしてそのためにどの数を使うのかを分っていなければ作れないイメージではないかと思います。あえて言えば、「交換法則をすでにわかっていて３×５＝５×３＝１５を省略した式を立てた子」ということになるかもしれません。
５×３を立式としては不正解、とする意見の中に、不正解または子どもにどのように考えたのかを聞く、というものがありました。
そして、（一つ分）×（いくつ）＝（全体）に合わせた説明を子どもがうまくできない場合には「理解していない」とみなすんですよね。
そして、フォローとして、「この式だとお皿の枚数が15になっちゃうよ」という説明をする、という趣旨の回答をあちこちで見ました。この説明にも一定のマニュアルがあるような気がします。
でも、この説明では「何を言われているのか理解できない」子が絶対にでてくる。
私は自分の思考プロセスでその説明を読んだときに、最初は頭が真っ白になりましたもん。子どものように反論してみると、「だって、私が見て計算で数えたのはお皿じゃなくてリンゴなんだもん。お皿は増えないもん。」というところでしょうか。
説明を３回読んでようやく「問題文はお皿が５枚、それぞれにリンゴが３個という意味で書いてある。お皿の数の５を３倍するということはお皿が15枚になる。ちゃんと『一皿』という言葉で『何が（一つ分）か』を書いてあるのだから」という意味だと分りました･･･私の理解が悪いのはそこの部分ですね。
というか、この頭が真っ白になってしまうディスコミュニケーションに唖然とした状態は、理解が曖昧…概念を獲得する途中である場合にはダメージが大きいです。この先何を手がかりにしてよいのかわからなくなる。言葉での説明が下手で絵で理解（しかかっている）子にはつらいと思います。エネルギーのある子だったら文句を言ったり騒いだりして、問題児･･･指導困難事例とみなされてしまうかもしれませんし、おとなしくて内気な子だったら、質問するすべもなくただ困っているだけになってしまうかもしれません。
そして、このひっかけ問題は、「掛け算の概念の獲得」とは無関係の話だと私はやっぱり思います。
「何を単位（一つ分）としてみなすか」は「お皿にのったリンゴの数」でも「お皿に一つリンゴがのっている状態」でも「リンゴを一つづつのせる動作」でも、求める数がリンゴの総数である、ということはわかっていて、それを導き出すための基本になる「単位（一つ分）」を問題文から見つけ出して掛け算をしているということになるわけです。
（一つ分）×（いくつ）＝（全部の数）の図式どおりに式をたてても、問題作成者が想定した以外の（一つ分）を直感的に見つけてしまう子は絶対にいます。そして、その説明ができるとはかぎりません。「視覚的認知」が優れていても「聴覚的認知」や「文字情報からの理解」が悪い子はいます。表現力はさらにまた別の力になります。
だから、「５×３」を不正解とするよりも「５×３」と書いた子どもの思考のプロセスは是非是非丁寧に聞いてみて欲しいです。「（一つ分）×（いくつ）に合わせると５はお皿の数だからお皿が１５枚になってしまう」と決め付けずに。そして、言葉が足らない子にはぜひ、言語化の手伝いをしてあげてほしい。せっかく得た手がかりを全否定する評価やフォローは混乱の度合いを深めることでしょう。
でも、教師用の指導書などに正解の型は書いてあるんですよね。このひっかけ問題の形も書いてあります。小学校の先生は全教科を教えなくちゃならないから、指導書は大事な指導のてがかりのはず。教える側の意図とは違う道筋であっても、概念獲得の途上にちゃんといる子をわざわざ潰すことがないようにしてほしいです。
読んでいて興味深かった記事のリンクを貼っておきます。トラックバックでのご挨拶もかねて。
「３×５≠５×３」なんて指導するくらいだから、「日本人には創造性が無い」「創造性の芽を潰す」と言われるのももっともだ - あらきけいすけの雑記帳
教科書会社のトップ「東京書籍」に言わせると、「５×３≠３×５」らしい。 - 小学校笑いぐさ日記
「算数と数学は違う」なんて誰が決めたのだ？ - 吾輩は馬鹿である
断絶を飛び越える - ＯＡＦ
