数学学習の記録 374 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、積分と不等式の問41

2010年12月2日木曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、積分と不等式の問41を解いてみる。

問41

問題のヒントより任意の実数kに対して

$k^{2}\int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx+2k\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}(g(x))^{2}dx\geq0$

が成り立つので、

$(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}-\int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx\cdot\int_{a}^{b}(g(x))^{2}dx\leq 0$

となる。(kの2次式と考えた時の判別式)

よって、

$\left(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\right)^{2}\leq \int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx\cdot\int_{a}^{b}(g(x))^{2}dx$

が成り立つ。

(証明終)