数学学習の記録 465 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 2 | Kamimura's blog

2011年3月3日木曜日

数学学習の記録 465 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 2

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 2を解いてみる。

問題1.4

2.

符号による場合分けが少し面倒なM3だけ証明。

M3

$\alpha,\beta,\gamma$

の少なくとも1つが

$0^{*}$

のとき、両辺とも

$0^{*}$

となる。

$\alpha,\beta,\gamma$

のいずれも

$0^{*}$

ではない場合。

$\alpha<0^{*},0^{*}<\beta,\gamma$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=(-(-\alpha)\beta)\gamma=-(-\alpha)(\beta\gamma)=\alpha(\beta\gamma)$

$\alpha,\beta<0^{*}<\gamma$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=((-\alpha)(-\beta))\gamma=(-\alpha)((-\beta)\gamma)$

$=(-\alpha)(-(\beta\gamma))==\alpha(\beta\gamma)$

$\alpha,\gamma<0^{*},0^{*}<\beta$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=(\alpha(-(-\beta))\gamma=-(\alpha((-\beta)\gamma))=\alpha(\gamma\beta)$

$\alpha,\beta,\gamma<0^{*}$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=((-\alpha)(-\beta))(-(-\gamma))=-(-\alpha)((-\beta)(-\gamma))$

$=\alpha(\beta\gamma)$

$\alpha>0^{*}>\beta,\gamma$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=(\alpha(-(-\beta)))(-(-\gamma))$

$=\alpha((-\beta)(-\gamma))=\alpha(\beta\gamma)$

$\alpha,\beta>0^{*},0^{*}>\gamma$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=(\alpha\beta)(-(-\gamma))=-\alpha(\beta(-\gamma))$

$=-\alpha(-(\beta\gamma))=\alpha(\beta\gamma)$

$\alpha,\gamma>0^{*}>\beta$

のとき、

$(\alpha\beta)\gamma=(\alpha(-(-\beta)))\gamma=-\alpha((-\beta)\gamma)$

$=-\alpha(-(\beta\gamma))=\alpha(\beta\gamma)$

(証明終)

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