数学学習の記録 474 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 2

2011年3月12日土曜日

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$

$=\sqrt{\frac{6}{a_{n}}+1}>1$

よって問題の数列は単調増加。

$a_{n}<6$

と仮定すると、

$a_{n+1}^{2}=6+a_{n}<12$

$a_{n+1}<2\sqrt{3}<6$

となる。また、

$a_{1}=1<6$

n=kのとき

$a_{k}<6$

と仮定すると、

$a_{k+1}^{2}=6+a_{k}<12$

$a_{k+1}<2\sqrt{3}<6$

よって帰納法よりすべての自然数nに対して

$a_{n}<6$

となる。すなわち問題の数列は上に有界である。よって単調増加で上に有界なので収束する。

極限値をαとおくと、

$\alpha=\sqrt{6+\alpha}$

$\alpha^{2}-\alpha-6=0$

$(\alpha-3)(\alpha+2)=0$

よって求める極限は3となる。