数学学習の記録 309 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数 順列・組合せ 確率 関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.2(関数の連続性)、中間値の定理の問20

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数 順列・組合せ 確率 関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.2(関数の連続性)、中間値の定理の問20を解いてみる。


問20

g(x)=f(x)-m

とおくと、

g(a)=f(a)-m, g(b)=f(b)-m

となる。また、

f(a)<m<f(b) または f(b)<m<f(a)

なので

g(a)+m<m<g(b)+m または g(b)+m<m<g(a)+m

すなわち、

g(a)<0, g(b)>0 または g(b)<0, g(a)>0

かつ、g(x)は閉区間[a, b]で連続なので中間値の定理よりあるaとbの間に

g(c)=0

となるようなcが少なくとも1つ存在する。

よって、

f(c)-m=0

f(c)=m

(証明終)